什么是循環(huán)小數(shù)

一、概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：循環(huán)小數(shù)一般有兩種定義：

一個或一段數(shù)的小數(shù)無限小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后某個位置重復(fù)出現(xiàn)，稱為循環(huán)小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；重復(fù)的一個或一段數(shù)叫做循環(huán)段。循環(huán)小數(shù)的縮寫是省略第一個循環(huán)段后的所有數(shù)字，在第一個循環(huán)段的前兩位和后兩位數(shù)字上面加一個小點(diǎn)。比如3.258258258.=3.258(在2和8上加一個小點(diǎn))。

循環(huán)小數(shù)可以分為兩類：混合循環(huán)小數(shù)和純循環(huán)小數(shù)。

混合壞小數(shù)：循環(huán)段不是從小數(shù)部分的第一位開始的循環(huán)小數(shù)，如3。258(在5和8上加一個小點(diǎn))。

純循環(huán)小數(shù)：從小數(shù)部分的第一位數(shù)字開始的循環(huán)小數(shù)，如3.258(在2和8上加一個小點(diǎn))。

公理化定義：

循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)的一種特殊形式。對于無限小數(shù)0。a1a2.一個。如果我們能求出兩個正整數(shù)s0，t0，那么as i=as kt i (i=1，2，…，t；k=l，2，)為真，那么無限小數(shù)稱為循環(huán)小數(shù)，記錄為0。a1a2.ass1.對于一個循環(huán)小數(shù)，滿足上述公式的s和t的值數(shù)不勝數(shù)。如果取s和t的比較小值，那么as 1as 2…as t為循環(huán)小數(shù)的循環(huán)段，t稱為循環(huán)段的長度。如果比較小的s=0，那么這個循環(huán)小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)；如果s0比較小，對應(yīng)的循環(huán)小數(shù)稱為混合循環(huán)小數(shù)，a1 a2…如小數(shù)點(diǎn)后循環(huán)段前的部分稱為非循環(huán)段。循環(huán)小數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)。

從數(shù)學(xué)的角度來說，第一種定義很好理解，小學(xué)數(shù)學(xué)教材的表述也差不多。第二種定義科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，體現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)。

小學(xué)數(shù)學(xué)：2005年人民教育版教材五年級第二冊第28頁明確指出，一個數(shù)的小數(shù)部分，從某個地方開始，一個數(shù)或幾個數(shù)依次反復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)稱為循環(huán)小數(shù)。

這與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“循環(huán)小數(shù)”的第一個定義基本一致。小學(xué)數(shù)學(xué)教材考慮到學(xué)生的認(rèn)知，沒有提到十進(jìn)制，默認(rèn)是十進(jìn)制無限小數(shù)。

二.概念解釋

循環(huán)小數(shù)在實(shí)際測量和生產(chǎn)壽命中產(chǎn)生。在測量和平均時(shí)，往往會出現(xiàn)這樣的情況：

在除法中，兩個數(shù)被除。如果得不到整數(shù)商，有兩種情況：一種得到有限小數(shù)，一種得到無限小數(shù)。在結(jié)果唯*的前提下，為了保證除法運(yùn)算的順利進(jìn)行，確實(shí)需要引入一個新的數(shù)，這樣分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。

循環(huán)小數(shù)實(shí)際上是有理數(shù)的小數(shù)表示。比如1/3，2/7等簡單分?jǐn)?shù)。在現(xiàn)實(shí)生活中有時(shí)候需要用小數(shù)來表示，然后就會出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)。

有時(shí)，如果有必要，循環(huán)可以簡化為分?jǐn)?shù)。有兩種情況：

一個純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以轉(zhuǎn)換成這樣一個分?jǐn)?shù)：分子是一個循環(huán)截面所代表的數(shù)；分母的每個數(shù)字都是9，9的個數(shù)等于一個循環(huán)段的位數(shù)。

混合循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以轉(zhuǎn)化為這樣一個小數(shù)：分子是第二個循環(huán)段之前的小數(shù)部分的個數(shù)與小數(shù)部分中非循環(huán)部分的個數(shù)之差；分母的前幾個數(shù)字都是9，9后的數(shù)字都是0。9的個數(shù)等于一個圓形截面的位數(shù)，0的個數(shù)等于非圓形部分的個數(shù)。

三.教學(xué)建議

循環(huán)小數(shù)是一個學(xué)生很難理解和表達(dá)的概念，尤其是一些表達(dá)其含義的抽象表達(dá)，如“循環(huán)”、“無窮”。因此，教師應(yīng)該在教學(xué)中通過創(chuàng)設(shè)情境來幫助學(xué)生理解概念。

(1)循環(huán)小數(shù)的意義可以通過直觀體驗(yàn)突破困難

教學(xué)周期小的時(shí)候，黃愛華老師用“從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚對小和尚說：從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說……”。學(xué)生在生動有趣的講故事情境中感受和體驗(yàn)循環(huán)小數(shù)的“無窮”、“連續(xù)”、“不斷”、“重復(fù)”等本質(zhì)特征，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化。同時(shí)，教師在上課開始時(shí)用直觀的方法排除障礙，使難點(diǎn)分散，為學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)的意義鋪平道路。

(2)循環(huán)小數(shù)的含義通過除法計(jì)算不斷完善

故事介紹完畢后，黃老師呈現(xiàn)了兩條消息：“烏龜6分鐘爬70米，蝸牛11分鐘爬9.4米”，讓同學(xué)們自主計(jì)算烏龜和蝸牛的速度。(706=11.66……,9.411=0.85454……)

有同學(xué)過了一段時(shí)間就不寫了，也有同學(xué)懷疑老師搞錯了——他們發(fā)現(xiàn)這個計(jì)算永遠(yuǎn)也不會完成，這正是同學(xué)們通過計(jì)算體會到的循環(huán)小數(shù)的無窮性。

黃老師于是引起學(xué)生們的思考：“為什么不繼續(xù)去掉呢？你怎么了，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？為了引導(dǎo)學(xué)生通過觀察垂直模式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生在計(jì)算實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決，通過討論和交流理解概念。在計(jì)算過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)循環(huán)小數(shù)的生成，可以加深對循環(huán)小數(shù)的理解，充分感受到循環(huán)小數(shù)是無限的。此時(shí)黃老師讓同學(xué)們說說什么是循環(huán)小數(shù)。憑借之前的直觀體驗(yàn)，通過計(jì)算的實(shí)踐，學(xué)生可以通過交流不斷完善循環(huán)小數(shù)的含義。

然后，師生討論“這兩個問題的商數(shù)怎么表示？””，由此得到循環(huán)小數(shù)的一般表示法。

一般來說，學(xué)生的表現(xiàn)方法可能如下。教師可以結(jié)合學(xué)生的四個答案討論循環(huán)小數(shù)的記法

70 6=11.6 .(表示小數(shù)部分是無限的，但不表示數(shù)字的重復(fù))

70 6=11.66666 .(可以這樣表達(dá)，但是寫那么多“6”太麻煩了)

706=11.6(6加一個點(diǎn)；循環(huán)小數(shù)的簡單表示法)

70 6=11.66 .(表示無窮大，數(shù)字“6”不斷重復(fù))

這是讓學(xué)生積極尋求解決非循環(huán)小數(shù)問題的方法。這個過程突出了知識的形成，揭示了速記背后的，使學(xué)生掌握了它的速記方法。

四.推薦閱讀

(1) 數(shù)學(xué)辭海第一卷(邱光明，山西教育出版社，2002)

在書的第29頁，有對“循環(huán)小數(shù)”及其相關(guān)概念的詳細(xì)解釋。

(2) 聽名師講課：數(shù)學(xué)卷(雷凌，廣西教育出版社，2004)

在書的第42-43頁，有黃愛華老師關(guān)于循環(huán)小數(shù)的教學(xué)片段和評論。