什么是循環小數

一、概念描述

現代數學：循環小數一般有兩種定義：

一個或一段數的小數無限小數從小數點后某個位置重復出現，稱為循環小數或無限循環小數；重復的一個或一段數叫做循環段。循環小數的縮寫是省略第一個循環段后的所有數字，在第一個循環段的前兩位和后兩位數字上面加一個小點。比如3.258258258.=3.258(在2和8上加一個小點)。

循環小數可以分為兩類：混合循環小數和純循環小數。

混合壞小數：循環段不是從小數部分的第一位開始的循環小數，如3。258(在5和8上加一個小點)。

純循環小數：從小數部分的第一位數字開始的循環小數，如3.258(在2和8上加一個小點)。

公理化定義：

循環小數是無限小數的一種特殊形式。對于無限小數0。a1a2.一個。如果我們能求出兩個正整數s0，t0，那么as i=as kt i (i=1，2，…，t；k=l，2，)為真，那么無限小數稱為循環小數，記錄為0。a1a2.ass1.對于一個循環小數，滿足上述公式的s和t的值數不勝數。如果取s和t的比較小值，那么as 1as 2…as t為循環小數的循環段，t稱為循環段的長度。如果比較小的s=0，那么這個循環小數叫做純循環小數；如果s0比較小，對應的循環小數稱為混合循環小數，a1 a2…如小數點后循環段前的部分稱為非循環段。循環小數都可以轉換成分數。

從數學的角度來說，第一種定義很好理解，小學數學教材的表述也差不多。第二種定義科學嚴謹，體現了循環小數的本質。

小學數學：2005年人民教育版教材五年級第二冊第28頁明確指出，一個數的小數部分，從某個地方開始，一個數或幾個數依次反復出現，這樣的小數稱為循環小數。

這與現代數學中“循環小數”的第一個定義基本一致。小學數學教材考慮到學生的認知，沒有提到十進制，默認是十進制無限小數。

二.概念解釋

循環小數在實際測量和生產壽命中產生。在測量和平均時，往往會出現這樣的情況：

在除法中，兩個數被除。如果得不到整數商，有兩種情況：一種得到有限小數，一種得到無限小數。在結果唯*的前提下，為了保證除法運算的順利進行，確實需要引入一個新的數，這樣分數就產生了。

循環小數實際上是有理數的小數表示。比如1/3，2/7等簡單分數。在現實生活中有時候需要用小數來表示，然后就會出現循環小數。

有時，如果有必要，循環可以簡化為分數。有兩種情況：

一個純循環小數的小數部分可以轉換成這樣一個分數：分子是一個循環截面所代表的數；分母的每個數字都是9，9的個數等于一個循環段的位數。

混合循環小數的小數部分可以轉化為這樣一個小數：分子是第二個循環段之前的小數部分的個數與小數部分中非循環部分的個數之差；分母的前幾個數字都是9，9后的數字都是0。9的個數等于一個圓形截面的位數，0的個數等于非圓形部分的個數。

三.教學建議

循環小數是一個學生很難理解和表達的概念，尤其是一些表達其含義的抽象表達，如“循環”、“無窮”。因此，教師應該在教學中通過創設情境來幫助學生理解概念。

(1)循環小數的意義可以通過直觀體驗突破困難

教學周期小的時候，黃愛華老師用“從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚對小和尚說：從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說……”。學生在生動有趣的講故事情境中感受和體驗循環小數的“無窮”、“連續”、“不斷”、“重復”等本質特征，使抽象的數學概念具體化。同時，教師在上課開始時用直觀的方法排除障礙，使難點分散，為學習循環小數的意義鋪平道路。

(2)循環小數的含義通過除法計算不斷完善

故事介紹完畢后，黃老師呈現了兩條消息：“烏龜6分鐘爬70米，蝸牛11分鐘爬9.4米”，讓同學們自主計算烏龜和蝸牛的速度。(706=11.66……,9.411=0.85454……)

有同學過了一段時間就不寫了，也有同學懷疑老師搞錯了——他們發現這個計算永遠也不會完成，這正是同學們通過計算體會到的循環小數的無窮性。

黃老師于是引起學生們的思考：“為什么不繼續去掉呢？你怎么了，發現了什么規律？為了引導學生通過觀察垂直模式發現規律，讓學生在計算實踐中發現問題并嘗試解決，通過討論和交流理解概念。在計算過程中，讓學生體驗循環小數的生成，可以加深對循環小數的理解，充分感受到循環小數是無限的。此時黃老師讓同學們說說什么是循環小數。憑借之前的直觀體驗，通過計算的實踐，學生可以通過交流不斷完善循環小數的含義。

然后，師生討論“這兩個問題的商數怎么表示？””，由此得到循環小數的一般表示法。

一般來說，學生的表現方法可能如下。教師可以結合學生的四個答案討論循環小數的記法

70 6=11.6 .(表示小數部分是無限的，但不表示數字的重復)

70 6=11.66666 .(可以這樣表達，但是寫那么多“6”太麻煩了)

706=11.6(6加一個點；循環小數的簡單表示法)

70 6=11.66 .(表示無窮大，數字“6”不斷重復)

這是讓學生積極尋求解決非循環小數問題的方法。這個過程突出了知識的形成，揭示了速記背后的，使學生掌握了它的速記方法。

四.推薦閱讀

(1) 數學辭海第一卷(邱光明，山西教育出版社，2002)

在書的第29頁，有對“循環小數”及其相關概念的詳細解釋。

(2) 聽名師講課：數學卷(雷凌，廣西教育出版社，2004)

在書的第42-43頁，有黃愛華老師關于循環小數的教學片段和評論。