井蓋為什么是圓的

很多時候，當我們走在城市的街道上，低頭看著道路的時候，會覺得為什么道路和非機動車道上有那么多圓形井蓋。雖然這樣并沒有影響太多的交通，但是總覺得路上坑坑洼洼的痕跡那么多，不太好看。然后觀察力敏銳的同志會問一個問題？為什么大大小小的井蓋幾乎都是圓形的，而其他形狀的井蓋卻很少見？

面試問題棘手的微軟

也許你們都知道，這樣一個看似無厘頭的問題，卻是一個經典的面試題目。據說這個問題可以從各個方面來回答。有人說因為圓形的井蓋容易運輸，角落不容易撞，這是真的。相對于三角形，正方形確實有這個優勢。有人說圓形井蓋受力時，受力會均勻分散，不會聚集在某個位置，不容易造成邊緣開裂，也是如此。有人從哲學角度解釋。之所以圓形井蓋比較多，是因為井口本身是圓形的。井蓋自然是圓的。

然而，小然還是想從數學的角度考慮這個問題。

圓形井蓋

井蓋是維持城市生活正常運轉的重要設施。如果壞了或者被偷了，對這一帶的人影響很大，甚至會導致生命安全事故。防盜，已經不是金屬做的了，真的沒什么經濟價值。即使井蓋沒有被盜，也不能直接從井口掉下來。沒錯，在數學上，大部分井蓋造成圓形，就是為了不讓井蓋掉進井里。

井蓋還是圓的

讓我們做一個實驗。我們用正三角形和正方形做井蓋，試著翻過來看看能不能從井口掉下來。這里需要注意的是，其實井口會比井蓋略大，這樣就保證了井蓋可以全面的放在井口。但是相對于整個井蓋的尺寸來說，這一點點微不足道，在分析中可以忽略不計。

井口與井蓋的結構關系

至于三角形的井蓋，當你準備把正三角形放進井口的時候，我們把井蓋垂直放進去，很快發現如果為了避免比較長的井蓋碰到井口而偏斜一定角度，三角形的井蓋很容易穿過井口而不碰到沿井口邊緣的位置。有一段時間，我們可能不知道是什么長度決定了我們能不能掉進井口，所以我們從各個角度去嘗試。

三角形井蓋不可行

很快我們發現根本原因是正三角形的高度小于邊長，也就是hc。

正三角形高度與邊長的關系

既然三角形不行，那正方形呢？

于是我們又重復了上面的操作，很快我們就發現，方塊在下落的過程中還是可以完全落入井口的。但是這里的長度關系并不是上述的高度和邊長的關系。

廣場也不可行

我們會在下落的過程中旋轉角度。從多個方向嘗試后，發現正方形的對角線大于它的邊長，即ac。所以每次我們總能把方塊翻過來，讓它在對角線長度內落入井口。

正方形邊長與對角線的關系

我們換成長方形怎么樣？其實也是一樣的，因為畢達哥拉斯定理是存在的，一條長度適中的對角線會比其他一邊都長。因此，矩形也可以落入井底，而不接觸井蓋的邊緣。

這時，我們嘗試了三角形和正方形。接下來我們來看看正五邊形。通過對前兩種情況的分析，我們發現井蓋能否掉入井口的根本原因是對角線與高度的長度關系。所以我們不用做實驗來分析。我們畫出正五邊形，通過理論計算出正五邊形的對角線與高度的關系。

五邊形

正五邊形對角線與高度的關系

通過對正五邊形的考察，我們可以從一開始所列的方程中找到這個問題的本質。我們發現邊數越多，對角線和高度越接近。

當高度和對角線長度差較大時，更容易掉入井口，因為下落時可以翻轉的角度和空間更多。當高度和對角線長度逐漸趨近時，在下落的過程中轉角就不那么容易實現了。

當擴展到無限多邊形時，滿足條件的井蓋自然是圓的

所以我們很自然的推廣到邊數無限大的時候，也就是當它是圓的時候，高度和對角線會越來越近，一個多邊形的高度和對角線比較后是無法區分的。所以無論我們怎么翻圓形的井蓋，圓圈總會和井蓋牢牢的粘在一起，讓它不能掉進去。

所以現在的問題是，難道只有圓形的井蓋不會掉到井口下面嗎？當然不是。圓度不是井蓋能不能掉的根本原因。根本原因就在于那句話。

只要在翻轉圖形的過程中，圖形寬度始終保持一致即可。

當從角度觀察圓時，圖形所占的寬度都是一樣的，導致圓下落過程中為避開井口而進行的翻轉操作失效。我們把這個性質叫做等寬，只要能找到滿足等寬的圖形，就能發明新的“井蓋”。

羅徠三角制圖

勒洛三角卷

你可能在某些場合見過下圖。畫的方法也很簡單，就是對稱中心之間以120度的間隔相交三個半徑相等的圓形成的弧形三角形。這個三角形看起來又胖又笨，但它有不尋常的性質。你在任意角度測量一對平行線的寬度，寬度是一樣的。這個三角形叫做勒羅伊三角形，是由19世紀的德國工程師弗朗茲雷烏萊亞克斯命名的。也正是基于這個性質，萊洛三角形是井蓋問題一個經典答案。

德國工程師弗朗茲勒洛

這個看似簡單的胖三角是比較簡單的等寬曲線。想象一下這個神奇的屬性。在一個平面下安裝幾個這樣的leroy三角形作為輪子，就可以移動平面而不會感覺到平面的波動。這時，又有同學在質疑。既然勒羅伊三角形的隨機移動寬度總是一致的，你能做一個輪子嗎？答案幾乎是不可能的。為什么？

用勒羅伊三角的輪子騎自行車

雖然說勒羅伊三角在情況下都是旋轉的，但是圖形的寬度不會改變，然而其旋轉中心點卻在實時波動.想象一下，如果一輛自行車用勒羅伊三角作為它的車輪，前后車輪軸承的位置就是旋轉的中心，而且這個中心總是高高低低的，這樣自行車就可以騎了，但是它有一種在飛機上騎蹺蹺板的感覺，好像并不是特別好看。不過有人卻從這種怪異的胖三角形里得出靈感來，創造了一件偉大的發明。

當滾動勒羅伊三角形時，飛機根本不動

德國的菲加斯汪克爾(figas wankel)注意到，當勒羅伊三角形在一條直線上翻轉時，上下寬度總是相同的，旋轉的中心是中間區域的一個小圓。如果用leroy三角形作為轉子，在轉子中間加一個偏心軸，然后構造一個特定的腔體，可以避免轉動過程中的中心波動問題，轉子可以繼續轉動做功？

旋轉式發動機的發明者菲加斯汪克爾

但勒羅伊三角有三個明顯的角度，在實際加工過程中不容易實現，轉子高速旋轉時必然會帶來更大的磨損，因此使用銳角是不可行的。于是汪克爾采用了變形的勒羅伊三角形，即讓一個圓繞著原來的勒羅伊三角形滾動，以圓的比較大邊的軌跡重構一個改進的勒羅伊三角形。可以想象，如果這個外圍圓的直徑大于勒羅伊三角形的直徑，那么比較終的軌跡會更加平滑。我們仍然可以證明這條曲線是等寬的，所以用這個光滑的勒羅伊三角形作為發動機轉子更合適。

轉子發動機模型

理論上是可行的，但在實際制造過程中，汪克爾必須克服各種問題，才有可能使轉子發動機成為現實。1927年，經過無數次試驗，汪克爾基本解決了氣密性、潤滑性等一系列技術問題。1967年，日本東洋公司批量在汽車上安裝轉子發動機。后來讓轉子發動機大放異彩的馬自達公司，幾十年來一直堅持研究。馬自達在1991年6月23日創造了歷史。在當天舉行的勒芒24小時耐力賽中，采用轉子發動機的馬自達787b賽車第二名兩圈奪冠！

創造歷史的馬自達神車787b

雖然轉子發動機也有一些缺點，如燃燒不充分，污染嚴重，油耗高，但它與傳統的活塞發動機有很大不同，它的小尺寸可以在發電中產生驚人的功率。它的出現確實給人們在追求權力的過程中帶來了耳目一新的感覺。原來發動機還能長成這樣。

清掃車的形狀也是一個勒羅伊三角形

為什么井蓋基本都是圓的？這個問題真的有幾千個答案，每個答案都可以令人信服。我們從純數學的角度得出這么多經典結論，超出了人們的預料。知道了井蓋的原理之后，我們發現了萊洛三角形，從萊洛三角形的特點中我們提出了等寬曲線的概念，再到后面將萊洛三角形實踐化造出了轉子發動機。

我相信井蓋的科學將永遠延續下去。

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